prémices d’activité calculatoire ?

À partir du VIIIème millénaire av. J.-C. les « calculi » permettaient de transmettre des informations numériques permettent de compatbiliser des biens. Ils sont contemporains de l’invention de l’écriture.

Au VIème siècle av. J.-C. en Asie Mineure puis en Grèce continentale, s’amorce une révolution qui marque la naissance de ce qui constitue actuellement les mathématiques :
■ la conceptualisation des objets mathématiques (formes et nombres)
■ la démonstration qui articule logiquement ces concepts (Euclide)

Écrit au frontispice du lycée, cela semble signifier que les mathématiques sont une condition nécessaire pour la réflexion philosophique. Elles sont le moyen privilégié d’accès aux Idées.

« La philosophie est écrite dans cet immense livre qui continuellement reste ouvert devant les yeux (ce livre qui est l’Univers), mais on ne peut le comprendre si, d’abord, on ne s’exerce pas à en connaître la langue et les caractères dans lesquels il est écrit. II est écrit dans une langue mathématique, et les caractères en sont les triangles, les cercles, et d’autres figures géométriques, sans lesquelles il est impossible humainement d’en saisir le moindre mot; sans ces moyens, on risque de s’égarer dans un labyrinthe obscur. » [L’Essayeur (Il Saggiatore) - 1623]


Il semble ici que Galilée déclare que la philosophie, c’est à dire le système de pensée ayant pour but de comprendre le monde, s’écrit en utilisant le langage mathématique.


À partir de là, avec Descartes, Leibniz, Kant, Husserl et jusqu’à notre époque on a tendance à considérer que les mathématiques sont le modèle, la clé d’intelligibilité du monde (de la nature).

La primauté des mathématiques dans la conception platonicienne est contestée par Aristote. De manière générale on peut concevoir plusieurs positions différentes concernant le statut des mathématiques

• les mathématiques constituent une réalité en soi
  
• il s’agit d’un mode d’accès à la réalité, elles existent uniquement dans la pensée (des mathématiciens)
  
• il s’agit d’un langage et d’une logique (philosophie analytique)
  

Mais ceci soulève en fait la question de la nature de la réalité et du mode d’existence des objets mathématiques.

L’épistémologue Karl Popper (1902-1994) caractérise le travail scientifique en utilisant l’idée de réfutabilité (ou falsiabilité) par l’expérience.
Est-ce seulement un exercice intellectuel « gratuit » ou est-ce une science ?
Le travail mathématique, de part sa créativité, s’apparente aussi à l’art.

Une conjecture n’est pas une simple hypothèse. Elle doit à la fois mettre en relation plusieurs champs distincts des mathématiques, susciter la constitution d’une communauté de mathématiciens qui y travaillent, et éventuellement avoir été validée sur de nombreux cas particuliers. C’est le cas, par exemple, de la conjecture de Riemann qui relie la distribution des nombres premiers aux solutions d’une équation analytique :
\(\zeta(s)=0\) avec \(\zeta(s)=1+\cfrac{1}{2^s}+\cfrac{1}{3^s}+\cfrac{1}{3^s}+\cfrac{1}{4^s}+\ldots= \cfrac{1}{\left(1-\cfrac{1}{2^s}\right)\times\left(1-\cfrac{1}{3^s}\right)\times\left(1-\cfrac{1}{5^s}\right)\times\left(1-\cfrac{1}{7^s}\right)\times\left(1-\cfrac{1}{11^s}\right)\times\ldots}\)
La « croyance » en la vérité des conjectures est souvent renforcée par la démonstration d’une de ses conséquences.
Toutefois, savoir que A implique B et que B est vrai ne permet pas de conclure que A est vrai.

En 1769, Euler énonce la conjecture suivante :
Si une puissance \(n^{ième}\) (d’un entier \(x\)) se décompose en somme de puissances \(n^{ièmes}\) d’entiers, alors cette somme contient au moins \(n\) termes.
Autrement dit : si
\(x^n=a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n\) alors \(k\geq n\)


C’est seulement en 1966 que Lander et Parkin trouvent un contre-exemple, en utilisant l’informatique :
\(27^5+84^5+110^5+133^5=144^5\)

En s’attaquant au problème général de la résolution des équations algébriques, Galois ne va pas chercher à trouver les solutions. Il va analyser globalement l’ensemble S des solutions et surtout le groupe des symétries de S. C’est la structure de ce groupe qui va déterminer la condition de résolubilité (par radicaux) de l’équation.

G. H. Hardy, concernant la lettre que Ramanujan lui avait envoyée en 1913 dit : les formules qu'elles contenaient ne pouvaient qu'être justes, car personne n'aurait eu une imagination suffisante pour les inventer et qu'elles soient fausses.

Et aussi : Ramanujan travaillait par induction à partir d'exemples numériques, beaucoup plus que ne le faisait la majorité des mathématiciens contemporains …; mais, en alliant sa mémoire, sa patience et sa puissance de calcul, il aboutissait à une capacité de généralisation, une appréciation des formes, et une flexibilité pour de rapides modifications de ses hypothèses, qui étaient souvent surprenantes et le rendait sans rival à ce jour dans son domaine de compétence.

_Quelques citations, extraites de Récoltes et semailles_ :


Mais comme son nom même le suggère, un « point de vue » en lui-même reste parcellaire. Il nous révèle un des aspects d’un paysage ou d’un panorama, parmi une multiplicité d’autres également valables, également « réels ». C’est dans la mesure où se conjuguent les points de vue complémentaires d’une même réalité, où se multiplient nos « yeux », que le regard pénètre plus avant dans la connaissance des choses. Plus la réalité que nous désirons connaître est riche et complexe, et plus aussi il est important de disposer de plusieurs « yeux » pour l’appréhender dans toute son ampleur et dans toute sa finesse.

• la découverte de l’irrationalité dans les mathématiques grecques
  
• racine carrée de -1 (XVIème siècle) : Cardan, Bombelli
  
• les sommes infinies (XVIIème-XVIIIème siècle) : Newton, Euler
  
• les géométries non euclidiennes (milieu XIXème siècle) : Lobatchevski, Bolyai
  
• l’infini actuel (fin XIXème siècle) : Cantor
  
• les énoncés indécidables : Gödel
  

Felix Klein en 1926 analyse la rupture que constitue le passage du XVIIIème au XIXème siècle en terme de rigueur et d’abstraction.
Il en donne aussi des raisons socio-politiques ; pour Felix Klein, cette mutation intellectuelle est étroitement liée aux changements sociaux provoqués par la Révolution française : la démocratisation de l’accès aux sciences, la spécialisation scientifique, la professionnalisation de l’enseignement.
Dans ce cadre, l’École polytechnique de Paris apparaît emblématique de tous ces changements, avec une formation des cadres civils et militaires sur la base d’une éducation mathématique de haut niveau ; Felix Klein souligne que l’École polytechnique, par ses enseignants et ses anciens élèves, est à l’origine de presque toutes les grandes nouveautés scientifiques qui surviennent en France dans les premières décennies du XIXème siècle.


Quelques références : Thomas Kuhn, La structure des révolutions scientifiques, 1962
Imre Lakatos, Preuves et réfutations, 1984

Dirac : entre une équation de la physique considérée comme belle et un fait de la physique, une expérience qui viendrait à contredire cette équation, je choisis l’équation
Thomas Huxley (biologiste, père d’Aldous Huxley) : Quand même, on ne va pas sacrifier nos merveilleuses théories pour un misérable fait qui les contredit !
Hermann Weyl : mon travail a toujours consisté à unir la vérité et la beauté, mais quand j’ai eu à choisir l’une ou l’autre, j’ai toujours choisi la beauté.

(et ses erreurs : Kepler et les polyèdres réguliers)

Hermann Weyl et Henri Poincaré insistent sur le rôle de la symétrie dans le sentiment esthétique. Cette symétrie au sens large que lui donnent les mathématiques à travers la théorie des groupes est au coeur des théories depuis Évariste Galois et Felix Klein ; elle est aussi devenue l’un des outils fondamentaux de la physique théorique au XXème siècle.
Parmi les critères esthétiques, la simplicité occupe une place particulière dans le choix des axiomes : le cinquième postulat d’Euclide paraît problématique parce qu’il semble artificiel, trop peu évident.

\(e^{i\pi}=-1\) (Euler)

\(S - A + F = 2\) (Euler)

tournesol (Fibonacci), flocon de neige, ...

Beautés géométriques et arithmétiques dans l’atelier des formes symboliques

C’est évident si on utilise la représentation des carrés de Pythagore et qu’on examine les gnomons qui permettent de passer d’un carré au suivant.
Sinon voici une démonstration « algébrique » :
Soit un nombre \(k\) différence de 2 carrés : on peut écrire \(k = x^2 - y^2\) ce qui donne \(k = (x - y)(x + y)\) ;
on a en particulier la solution \(x - y = 1\) et \(x + y = k\), ce qui donne \(2x = k + 1\) et \(2y = k - 1\) soit \(x = \cfrac{k+1}{2}\) et \(y = \cfrac{k-1}{2}\) qui sont des entiers si \(k\) est impair.
Si \(k\) est pair, au moins l’un des deux facteurs \(x-y\) ou \(x+y\) est pair ; or \(x+y=x-y+2y\) et \(x-y=x+y-2y\) donc les deux facteurs sont pairs.
Il faut donc que \(k\) soit un multiple de 4.
Mais est-ce suffisant ? Oui en remarquant que \(k=4p=(p+1)^2-(p-1)^2\)
C’est vrai pour les nombres pairs multiples de 4.
autre explication : \((n+1)^2=n^2+2n+1\). On passe donc d’un carré au suivant en ajoutant un nombre impair.
En itérant, on voit qu’une différence de deux carrés est une somme de nombres impairs consécutifs.
Mais deux nombres impairs consécutifs ont une somme multiple de 4 (car \(2k+1+2k+3=4k+4\)).
conclusion : tout nombre qui n’est pas de la forme \(4p+2\) est une différence de 2 carrés
remarque : la formule obtenue ci-dessus \(k=\left(\cfrac{k+1}{2}\right)^{2}-\left(\cfrac{k-1}{2}\right)^{2}}\) montre que toute fraction positive et différente de 1 est la différence des carrés de 2 fractions non nulles ;
mais est-ce que toute fraction positive est la somme des carrés de 2 fractions non nulles ?

\((x+1)(y+1)=xy+x+y+1\) donc \(xy+x+y=492\) équivaut à \((x+1)(y+1)=493\) qui est « presque premier » (semi-premier) car égal à \(17\times29\) ;
on a donc \(x+1=1\) et \(y+1=493\) ou \(x+1=17\) et \(y+1=29\) (et symétriquement deux autres cas)
Ce qui donne comme solutions : \((0, 492)\), \((16, 28)\), \((28, 16)\) et \((492, 0)\), en ne considérant que des solutions non négatives, sinon, il y a en plus \((-2, 494)\), \((-18, -30)\), \((-494, -2)\) et \((-30, -18)\).
Complément : les nombres semi-premiers sont couramment utilisés en cryptologie en tant que clé publique pour le système RSA, parce qu’il est difficile de factoriser un grand nombre semi-premier.
En 1974, le message d’Arecibo a été envoyé sous la forme d’un signal radio vers un amas d’étoiles.
Il se composait de 1679 bits destinés à être interprétés comme une image binaire de 23 pixels sur 73. Le nombre \(1679 =23 \times 73\), a été choisi car il est semi-premier
et ne peut donc être arrangé en une image rectangulaire que de deux manières distinctes : 23 lignes et 73 colonnes ou 73 lignes et 23 colonnes.

Notons \(N = 3n^2+n+1\)
Remarque : \(N\) est toujours impair car \(n\), \(n^2\) et \(3n^2\) ont la même parité donc \(3n^2+n\) est pair et \(3n^2+n+1\) est impair.
On en déduit que la somme des chiffres de \(N\) ne peut être égale à 1 ou 2 que dans les cas \(N=1\) ou \(N=10....01\)
Le cas \(N=1\) donne \(n=0\) ; sinon \(3n^2+n+1=10^k+1\) donne \(n(3n+1)=10^k\)
\(n(3n+1)=2^k.5^k\) ; or \(n\) et \(3n+1\) n’ont pas de diviseur commun, sinon ce serait un diviseur commun de (\(3n+1)-3n=1\).
Donc \(n = 2^k\) et \(3n+1=5^{k}\) (\(n<3n+1\) donc le cas inverse ne convient pas) ; on est donc ramené à l’équation \(3\times2^k+1=5^k\)
étude de cas particuliers avec un tableur
On remarque que pour \(k\geq2\) le premier membre est toujours strictement inférieur au deuxième, ce qu’on va démontrer :
\(3\times2^k+1<3\times2^k+2^k=4\times2^k\)
et il reste à démontrer que \(4\times2^k<5^k\)
c’est à dire (en divisant les deux membres par \(2^k\)) que \(4<(2,5)^k\),
ce qui est vrai dès que \(k\geq2\)
conclusion : étant donné que le tableau des exemples donné dans l’énoncé de l’exercice montre que la somme des chiffres de \(N\) peut être égale à 3 (pour \(n=8\)),
on en déduit que la somme des chiffres de \(3n^2+n+1\) est toujours supérieure ou égale à 3.

posons \(N=\ldots111\) ; \(N = 1 + 10 + 10^2 + 10^3 + \ldots\) ; alors \(10N=10+10^{2}+10^{3}+\ldots=N-1\) donc \(9N=-1\) d’où \(N=-\cfrac{1}{9}\).
On peut remarquer que si on pose les opérations (en admettant qu’elles se font de la façon habituelle) :
...111
× 9
__
= ...999
puis
...999

• 1
  

__
= ...000
ce qui donne \(9N+1=0\) soit \(N=-\cfrac{1}{9}\)

Pour que la preuve de la contradiction soit rigoureuse, il faut démontrer que \(BI\) est un entier.
Or \(\widehat{BIA}= 180°-\widehat{BAI}-\widehat{ABI}\) dans le triangle \(BIA\)
\(= 180 - \widehat{BDA}-\widehat{DAB}=\widehat{ABD}\) dans le triangle \(ADB\).
Donc \(BAI\) est isocèle ; d’où l’on déduit que \(AB=AI=DI\) puisque \(AID\) est isocèle.
Conclusion : \(BI=BD-DI=a-b\) donc c’est un entier (plus petit que \(a\)).

Pour Pythagore, Tout est nombre. Cette conviction lui est peut-être venue de l’astronomie. Les constellations se distinguent par leur nombre d’étoiles et par la disposition géométrique de celles-ci. En construisant diverses dispositions géométriques des nombres, les Pythagoriciens ont été les premiers à découvrir des propriétés abstraites des nombres.

En représentant les nombres par des points ou des cailloux, ils les ont classifié en nombres pairs et nombres impairs, et également par les formes géométriques selon lesquelles les points peuvent être disposés.

Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (avec cette définition, 1 n’est pas un nombre premier).
Dans la représentation imagée de Pythagore, un nombre premier correspond à une nombre qui ne peut pas se mettre sous la forme d’un rectangle avec un côté supérieur à 1.

On constate que la construction des fonctions logarithmes résulte d’un processus complexe mettant en oeuvre des problèmes provenant de différents domaines :

• la construction de « tables de logarithmes » permettant de simplifier les calculs (en particulier en astronomie) en remplaçant les multiplications par des additions
  
• la tentative de généralisation à la fonction \(\cfrac{1}{x}\) des formules de calcul d’aires du type \(\displaystyle\int x^k=\cfrac{x^{k+1}}{k+1}\) pour \(k\neq -1\) ; on obtient \(\displaystyle\int_{1}^{t}{\cfrac{1}{x}dx=L(t)\) où \(L\) est une fonction qui possède les propriétés caractéristiques des logarithmes : \(L(a\times b)=L(a)+L(b)\) et \(L(1)=0\). On notera \(L=\ln\) et il existe un nombre \(e\) tel que \(\ln e =1\)
  

• ce nombre \(e\) apparaît dans la détermination du taux d’intérêt (dit continu) équivalant à un taux d’intérêt annuel de 100% mais calculé continûment, c’est à dire à chaque instant. On montre que ce nombre \(e\) est donné par la formule \(e=\lim\limits_{n\to \infty }\left(1+\cfrac{1}{n}\right)^{n}\), ce qui permet d’en calculer des valeurs approchées.
  Plus généralement, si t est le taux d’intérêt (en prenant t = 1 pour 100%), le taux d’intérêt continu serait \(e^t=\lim\limits_{n\to \infty }\left(1+\cfrac{t}{n}\right)^{n}\)
  

On voit donc apparaître ici une relation entre le nombre \(e\) relatif à une éventuelle réciproque de la fonction \(\ln\) (puisque \(e\) est le nombre tel que \(\ln e = 1\)) et une « fonction » exponentielle.
logarithmes (synthèse)

Au milieu du XVIIème siècle apparaissent les techniques de développement en séries infinies, ce qui revient à utiliser, en sus des opérations « de base » (addition, soustraction, multiplication, division, racines) une nouvelle opération : les sommes infinies.
Les mathématiciens ne se soucient pas trop à cette époque de la validité de cette opération, c’est à dire des problèmes de convergence : une somme infinie de nombres est-elle encore un nombre, peut-on appliquer les opérations de base aux sommes infinies ? On dirait actuellement qu’ils raisonnent dans l’anneau de séries formelles \(\mathbb{R}[[X]]\).
En effet, les expressions du type : \(\cfrac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\ldots\) se démontrent formellement par un calcul algébrique sur des sommes infinies ; ont-elles un sens lorsqu’on remplace \(x\) par un nombre quelconque ? On démontrera plus tard que ceci n’a de sens que si \(x\) est compris entre -1 et 1 ; mais pour cela il faudra construire la notion de convergence.
exemples
exemples (version en ligne)
Question : comment expliquer les contradictions rencontrées dans certains cas, alors que dans d’autres cas on trouve des résultats cohérents (notion de rayon de convergence)

La définition de la fonction \(\ln\) montre qu’il existe un entier \(e\) tel que \(\ln e = 1\)
Par ailleurs, et indépendamment, Jacques Bernoulli met en évidence, dans le calcul des « intérêts composés continus »,

• qu’un taux d’intérêt annuel égal à 100%, si on calcule les intérêts « continûment », c’est à dire à chaque instant, multiplie le capital par une constante, qu’on va provisoirement nommée \(E\), égale à \(E=\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\cfrac {1}{n}\right)^{n}\)
  
• et plus généralement un taux d’intérêt annuel \(t\) (avec \(t=1\) pour 100%), multiplie la capital par \(E^t=\lim\limits_{n\to \infty }\left(1+\cfrac{t}{n}\right)^{n}\)
  

Remarques

1. Ces formules ne permettent pas de calculer \(E\) de manière efficace :
   

   \(n\)	10	100	1000	10000
   \(E\)	2,5937	2,7048	2,7169	2,7181

alors que \(E=2,7182\ldots\)

1. La formule donnant \(E^{t}\) suggère l’existence d’une « fonction exponentielle »
   

\(E=\lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\cfrac {1}{n}\right)^{n}\) donc \(\ln E \simeq n.\ln \left(1+\cfrac{1}{n}\right)\) pour \(n\) grand,
soit \(\ln E \simeq n\left(\cfrac{1}{n}-\cfrac{\cfrac{1}{n^{2}}}{2}+\cfrac{\cfrac{1}{n^{3}}}{3}-\ldots\right)\simeq 1-\cfrac{\cfrac{1}{n}}{2}+\cfrac{\cfrac{1}{n^{2}}}{3}-\ldots\)
avec tous les termes où \(n\) apparaît qui s’annulent quand \(n\) tend vers l’infini.
Donc \(\ln E =1\), c’est à dire \(E=e\).

La formule \(e^x=\lim\limits_{n\to \infty }\left(1+\cfrac{x}{n}\right)^{n}\) conduit peu à peu à considérer l’exponentielle comme une fonction.
Newton et Euler, utilisant le développement du binôme de Newton \((1+t)^k=1+kt+\cfrac{k(k-1)}{2!}t^2+\cfrac{k(k-1)(k-2)}{3!}t^3+\ldots\)
obtiennent, en posant \(t=\cfrac{x}{n}\) et \(k=n\) :
\(e^x=1+x+\cfrac{n(n-1)}{2!}\left(\cfrac{x}{n}\right)^2+\cfrac{n(n-1)(n-2)}{3!}\left(\cfrac{x}{n}\right)^3+\ldots\) quand \(n\) tend vers l’infini.
En remarquant que quand \(n\) tend vers l’infini, dans chacun des termes de la somme l’expression \(\cfrac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-j)}{n^{j+1}}\) tend vers 1, ils trouvent :
\(e^x=1+x+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+\ldots\)
Ceci va avoir deux conséquences :

• on va pouvoir calculer des valeurs approchées de \(e\) plus efficacement
  
• on va démontrer que la fonction exponentielle transforme les sommes en produits : c’est la réciproque de la fonction logarithme
  

Le développement en série de l’exponentielle permet de démontrer que la fonction exponentielle transforme les sommes en produits ; c’est la fonction réciproque du logarithme népérien.



problème des sous-tangentes
problème des sous-tangentes (version en ligne)



fonctions réciproques _ logarithme népérien et exponentielle
fonctions réciproques _ logarithme neperien et exponentielle (version en ligne)

On constate à nouveau que, comme pour le logarithme, la construction de la notion d’exponentielle résulte d’un processus complexe mettant en oeuvre des problèmes provenant de différents domaines :
On a constaté aussi que l’exponentielle peut être définie de plusieurs manières :

• \(e^{x}=\lim\limits_{n\to \infty }\left(1+\cfrac{x}{n}\right)^{n}\) dans le calcul du « taux d’intérêt continu »
  
• \(e^{x}=1+\cfrac{x}{1!}++\cfrac{x^{2}}{2!}+\cfrac{x^{3}}{3!}+\ldots\)
  
• la fonction réciproque du logarithme népérien
  
• la fonction \(f\) telle que \(f' = f\) et \(f(0) = 1\)
  

vitesse, pente, tangente
distance, aire, intégrale

Exercice 5.1
voir corrigé de l’exercice 5.1
corrigé de l’exercice 5.1 (version en ligne)
Exercice 5.2
\(F(x)= \displaystyle{\int f(x).dx=\int 1.dx+\int 2x.dx+\int 3x^2.dx+\ldots=x+x^2+x^3+x^3+\ldots=\cfrac{1}{1-x}-1=\cfrac{x}{1-x}}\)
a) \(aire = F\left(\cfrac{1}{2}\right)=1\)
b) \(f(x)=F'(x)=\cfrac{1}{(1-x)^2}\)
remarque : on peut retrouver ce résultat sans calculer la dérivée, en remarquant que \(f(x)=(1+x+x^2+x^3+\ldots)^2=\left(\cfrac{1}{1-x}\right)^2\)

Bien avant l’invention de l’algèbre par Al-Khwarizmi au VIIIème siècle, les mathématiciens mésopotamiens, grecs, chinois, ... ont réussi à résoudre des problèmes qu’on interpréterait maintenant comme étant des problèmes conduisant à une équation du second degré.
Exemple (type Euclide, IIIème siècle av. J.-C.) : second degré
Actuellement on dit que les solutions de l’équation \(ax^{2}+bx+x=0\) sont données par \(x=\cfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) ou \(x=\cfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) si \(b^{2}-4ac\geq0\).
Les Grecs avaient remarqué que dans certains cas ces problèmes conduisaient à obtenir un carré d’aire négative. Ils considéraient alors qu’il n’y avait pas de solution.

En créant le concept d’inconnue (Diophante : l’arithme, IIIème siècle après J.-C. puis Al-Khwarizmi : la chose, IXème siècle) les mathématiciens grecs d’Alexandrie, puis les mathématiciens arabo-musulmans de Bagdad vont inventer l’algèbre.
Al-Khwarizmi va classer les 6 types d’équations du second degré connues (ceci est rendu nécessaire par l’incapacité à utiliser des coefficients négatifs) puis Omar Khayyam au XIème siècle va classer de la même manière les 13 types d’équations du troisième degré, sans toutefois parvenir à en trouver les solutions dans le cas général.

Vers 1510, à Bologne, Del Ferro réussit à trouver des formules pour les équations du type \(x^{3}+px+q=0\) mais ne communique pas ses résultats, en raison de la concurrence entre les mathématiciens à l’époque. En 1535 à Venise, Tartaglia (Nicolao Fontana) retrouve ces formules en reprenant l’idée consistant à compléter le développement d’un carré ou d’un cube :
Exemple : \(x^3+9x=26\)
Tartaglia : équation du troisième degré

Tartaglia a écrit sous forme de poème l’algorithme permettant de calculer les solutions des équations du second degré (voir ci-contre, avec leur traduction algébrique actuelle).
Mais il ne diffuse pas ces formules que finalement Cardan va réussir à lui « soutirer » en mars 1539 à Milan.
Cardan va étendre les formules aux équations \(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\) par le changement de variable \(x\longrightarrow x-\cfrac{b}{3a}\)
Bombelli, en s’attaquant à l’équation \(x^{3}=15x+4\) s’aperçoit aisément qu’elle a comme solution \(x=4\) ; cependant les formules de Cardan et Tartaglia pour cette équation s’écrivent \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\) et semblent prouver que cette équation n’a pas de solution.
Il fait abstraction de cette impossibilité (qui correspondrait à l’existence d’un carré d’aire égale à -121) et, en écrivant \(\sqrt{-121}\) sous la forme \(11\sqrt{-1}\) il obtient :
\(x = \sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}\)
et enfin en développant \((2-\sqrt{-1})^3=2-11\sqrt{-1}\) il obtient \(\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}=2-\sqrt{-1}\)
et en développant \((2+\sqrt{-1})^3=2+11\sqrt{-1}\) il obtient \(\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}=2+\sqrt{-1}\)
Finalement \(x = \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} = 2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}=4\)
Il appelle ces nombres des nombres imaginaires.

En termes modernes, on peut dire que le grand apport de Bombelli a été d’accepter de travailler sur des « nombres », qu’on appellera d’abord imaginaires, de la forme \(a+b\sqrt{-1}\), avec \(a\) et \(b\) réels.
Euler, au XVIIIème siècle, introduira la notation \(i\) pour \(\sqrt{-1}\) et on appellera les nombres de la forme \(a+bi\) des nombres complexes.
À travers cet abandon de l’intuition, l’invention des nombres complexes permettra à l’algèbre de se développer pour résoudre des problèmes très généraux de manière efficace. La compréhension de la nature de ces nombres imaginaires ou complexes progressera en en donnant une interprétation géométrique.
Au XXème siècle, ces nombres vont s’avérer incontournables dans la description du monde réel qu’en donne la mécanique quantique. Les propriétés des objets de cette physique et les équations (équation de Schrödinger par exemple) font intervenir des nombres complexes.

Cette histoire peut être l’occasion de poser cette question propre à la philosophie mathématique : ces nombres complexes sont-ils découverts ou construits (inventés) ?
La position platonicienne (réalisme platonicien)

« Outre l’existence des choses sensibles et des Idées, Platon admet celle des Choses mathématiques [Nombres, Lignes, Surfaces, Solides], qui sont des réalités intermédiaires, différentes, d’une part, des Choses sensibles, en ce qu’elles sont éternelles et immobiles, et, d’autre part, des Idées, en ce qu’elles sont une pluralité d’exemplaires semblables, tandis que l’Idée est en elle-même une réalité une, individuelle et singulière. »

[Aristote, Métaphysique, vers 350 av. J.-C.]

Remarque : Aristote, en fait, soutient le point de vue opposé à celui de Platon : il n’y a pas de monde mathématique en soi; si l’on en parle, c’est en tant qu’idées abstraites de l’activité humaine, à savoir des constructions des mathématiciens créateurs.

« La structure d’une chose n’est nullement une chose que nous puissions « inventer ». Nous pouvons seulement la mettre à jour patiemment, humblement en faire connaissance, la « découvrir ». S’il y a inventivité dans ce travail, et s’il nous arrive de faire œuvre de forgeron ou d’infatigable bâtisseur, ce n’est nullement pour « façonner », ou pour « bâtir », des « structures ». Celles-ci ne nous ont nullement attendues pour être, et pour être exactement ce qu’elles sont ! Mais c’est pour exprimer, le plus fidèlement que nous le pouvons, ces choses que nous sommes en train de découvrir et de sonder, et cette structure réticente à se livrer, que nous essayons à tâtons, et par un langage encore balbutiant peut-être, à cerner. »

[A. Grothendieck, Récoltes et semailles, 1985]

À l’opposé le constructivisme est une philosophie des mathématiques définie par deux composantes :

• au plan ontologique, le constructiviste considère les objets mathématiques, non comme existant « par eux-mêmes », mais comme le résultat des constructions mentales du mathématicien
  
• au plan méthodologique, il insiste sur l’importance des preuves dites « constructives », c’est-à-dire des démonstrations qui, si elles concluent à l’existence d’un objet, donnent une méthode permettant d’en produire effectivement un exemplaire, au lieu de se contenter d’établir que l’inexistence de l’objet conduirait à une contradiction
  

Théorème de d’Alembert-Gauss (1815) : tout polynôme \(P\) non constant à coefficients complexes admet au moins une racine complexe.
Conséquence : pour tout polynôme \(P\) non constant de degré \(n\) à coefficients complexes, l’équation \(P(z)=0\) possède exactement \(n\) racines complexes (en comptant leur ordre de multiplicité).
On dit que le corps \(\mathbb{C}\) des nombres complexes est algébriquement clos.
Exemples
\(z^2+1=0\) possède 2 solutions : \(i\) et \(-i\)
\(z^{2}-1=0\) possède 2 solutions : 1 et -1
\(z^{3}-1=0\) possède 3 solutions : 1, \(\cfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\) et \(\cfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\)
\(z^{4}+2z^{2}+1=0\) possède deux solutions doubles \(i\) et \(-i\)
\(z^{2}-i=0\) possède deux solutions \(\sqrt{i}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}+i\cfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(-\sqrt{i}\)
Remarque
Ce théorème ne possède pas de démonstration purement algébrique. À un certain moment de la démonstration il est nécessaire d’invoquer des arguments d’analyse liés aux limites ou à la continuité.
Ce théorème démontre l’existence des solutions mais ne permet pas de les calculer.
Clôture algébrique de \(\mathbb{C}\)

addition des nombres complexes
multiplication des nombres complexes
En coordonnées cartésiennes l’interprétation de l’addition des nombres complexes est assez intuitive ; ce n’est pas du tout le cas pour la multiplication.

complexes en coordonnées polaires

On a remarqué que multiplier deux nombres complexes revient à additionner leurs arguments et multiplier leurs modules
En coordonnées polaires : si \(z_1=[r_1, a_1]\) et \(z_2=[r_2, a_2]\) alors \(z_1.z_2=[r_1.r_2, a_1+a_2\)]
Ceci suggère une analogie avec les formules du type \(r_1.e^{a_1}\times r_2.e^{a_2}=r_1.r_2.e^{a_1+a_2}\)
Au XVIIIème siècle, de Moivre et surtout Euler, suite aux progrès liés à l’étude de l’exponentielle et des développement en séries infinies des fonctions trigonométriques vont parvenir à construire la notation exponentielle pour les nombres complexes :
Un nombre complexe \(z=x+iy\) qui a pour module \(r\) et pour argument \(a\) peut s’écrire sous la forme \(z=r(\cos a+i.\sin a)\) (forme trigonométrique). Mais les remarques précédentes sur la multiplication des complexes en coordonnées polaires rendent cohérente la notation \(z=re^{ia}\).
Les règles de cette addition se démontrent en utilisant les formules d’addition des fonctions trigonométriques.
La célèbre formule d’Euler : \(e^{i\pi}=-1\) s’en déduit : elle signifie simplement qu’une rotation de centre O et d’angle \(\pi\) (en radians, c’est à dire 180°) n’est autre qu’une symétrie par rapport à O.

Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation \(x^{2}-2=0\) possède deux solutions : c’est la solution positive qu’on note \(\sqrt{2}\), l’autre étant \(-\sqrt{2}\).
Dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation \(x^{2}+1=0\) possède deux solutions, mais on ne peux plus en déterminer une en disant qu’elle est positive ; on note arbitrairement l’une d’elle \(i\) ; l’autre étant alors \(-i\).
Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation \(x^3-1=0\) possède une seule solution \(x=1\)
Mais dans l’ensemble des complexes, cette équation possède 3 solutions : une réelle (1) et deux complexes conjuguées (\(\cfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) et \(\cfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)) : 1 possède trois racines cubiques.
racines cubiques de l’unité
Les fonctions racines dans \(\mathbb{C}\) sont donc « multivaluées » : il n’est pas possible de choisir une valeur déterminée pour les racines comme on le fait pour les nombres réels dans lesquels on choisit comme racine nième d’un réel positif \(A\) le nombre positif \(a\) tel que \(a^{n}=A\) (de même si \(A<0\), on choisit peut choisir la valeur négative de \(a\));
pour les nombres complexes la notion de positivité n’existe pas (il n’y a pas de relation d’ordre dans \(\mathbb{C}\)) : par exemple il n’est pas possible de choisir entre \(i\) et \(-i\) pour la racine carrée de \(-1\).
complexes et polygones réguliers

Symétries, rotations, homothéties, similitudes.
Transformations complexes, fractales (vidéo)

La manière de se représenter les « espaces » et de représenter les fonctions est liée à notre position d’être humain dans l’espace physique de dimension 3.
Nous représentons une fonction \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) dans un repère cartésien du plan parce que :

• l’axe réel \(\mathbb{R}\) est un espace de dimension 1
  
• le plan cartésien (produit cartésien de 2 axes) est de dimension 2
  
• l’intersection des axes cartésiens est un point
  
• notre position en dimension 3 nous permet d’être « en surplomb » de ce plan
  

De même, nous sommes capables de représenter des fonctions en dimension 3 parce que :

• nous les représentons en les projetant sur une plan de dimension 2
  
• l’intersection des 3 axes est un point
  

Par contre, on ne peut pas (se) représenter un espace de dimension 4 : il faudrait que nous ayons une position visuelle de surplomb dans cet espace sur les espaces de dimension 3.
Imaginons un mathématicien extra-terrestre infiniment plat (de dimension 2 ) vivant dans un espace de dimension 2. Comment peut-il envisager de représenter la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^{2}\) ?
Une solution : il représente sur une droite, en chaque point d’abscisse \(x\), la valeur de \(f(x)\) par une couleur. (avec une convention permettant d’associer une couleur ou un niveau de gris à chaque réel)
flatland

fonction complexe représentation avec 2 plans

séparation de la partie réelle et de la partie imaginaire :
On représente une fonction \(f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\) par deux fonctions \(Re(f):\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}\) et \(Im(f):\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}\)
représentation des parties réelles et imaginaires

On va colorier chaque point \(z\) du plan complexe à l’aide d’une couleurs associée à la valeur de \(w=f(z)\).
Pour chaque nombre complexe \(w=re^{i\theta}\) le couleur va dépendre du module \(r\) et de l’argument \(\theta\), en utilisant le cercle chromatique des couleurs.
représentation chromatique
voir aussi : http://localhost:8888/lab/tree/utl/atelier%20informatique/01-programmation%20en%20python/fonction%20complexe.ipynb (jupyterlab)

représentation d’une fonction complexe par un champ de vec&teurs